离散模拟每一步都要先后更新速度与位置。即使使用同一条恢复力公式，位置使用旧速度还是新速度，也会产生不同的轨迹和能量变化。

质量取一，恢复加速度为负k乘位置，步长为h。显式方法同时按旧状态计算新位置和新速度；半隐式方法先用旧位置更新速度，再用新速度更新位置。两种方法都从同一组位置和速度出发。

本例输入与约定

初始位置-1、速度-2，弹簧常数4，步长1/2。记录初始及十二次更新。

完整计算记录

步 | 显式位置/速度/两倍能量 | 半隐式位置/速度/两倍能量 0 | -1/-2/8 | -1/-2/8 1 | -2/0/16 | -1/0/4 2 | -2/4/32 | 0/2/4 3 | 0/8/64 | 1/2/8 4 | 4/8/128 | 1/0/4 5 | 8/0/256 | 0/-2/4 6 | 8/-16/512 | -1/-2/8 7 | 0/-32/1024 | -1/0/4 8 | -16/-32/2048 | 0/2/4 9 | -32/0/4096 | 1/2/8 10 | -32/64/8192 | 1/0/4 11 | 0/128/16384 | 0/-2/4 12 | 64/128/32768 | -1/-2/8

表中编号仅用于识别本例的元素。读取一个结果时，应先核对它对应的输入、处理顺序和边界约定；布尔值表示条件是否成立，空集合表示没有符合要求的对象，不应把这些字段混成同一种数值。

复核方法与适用范围

每一步记录位置、速度和速度平方加k乘位置平方；最后一项是理想弹簧系统能量的两倍。计算保留精确分数，避免把舍入误差混进更新顺序的比较。

本例没有阻尼、碰撞或外力，也不保证任意步长都稳定。半隐式方法并非每一步都严格保持真实能量；选择步长仍应结合具体系统，不能把某一份表的表现当成所有参数的结论。

练习时可以先独立计算最前面的一步，再检查最后的整体不变量。若结论不同，应保留各步记录，定位第一处差异；只调整最终数字会掩盖规则理解上的问题。改变输入后也要重新演算，而不是照抄这一例的输出。